2021年度大阪大学理系数学解いてみた
1番は解けてませんが…。
ただでさえ計算能力が落ちていて合っているかは保証出来かねますので、万が一この答えを参考にされる方がおられましたら自己責任でお願い致します。
あと、4番の問1は｢表書いたら行けるやん！｣の精神でやったのでこのやり方をするのはあまりおすすめしません。最終手段です。
【青春18きっぷ】近江神宮と京都鉄道博物館に日帰りで行ってきた【前編】
こんにちは。
有効期限が9月10日の青春18切符で滋賀と京都を巡るプチ一人旅をしてきました。なお今回は「青春18切符以外の交通費を使わない」という縛りをしています。
この旅に行ったのが9月10日だったので本当にギリギリです。大阪から大津京駅まで18切符で行き、歩いて20分ほどで近江神宮に到着です。流石にこの時期に人はほとんどおらず、近江神宮をほぼ独り占めする形で参拝することができました。
近江神宮から程近いところにある「近江神宮勧学館」は毎年競技かるたの名人戦、クイーン戦や高校選手権が行われる場所です。ここに至っては本当に誰もおらず、貸し切り状態でした。名物（？）のカルタくじを引いてみたところ、下の札が出ました。
この「カルタくじ」は一回三百円で引け、「上の句」が書かれた札か「下の句」が書かれた札のどちらを引くか選ぶことが可能です。今回は「下の句」が書かれた札を引くことを選択し、「秋風に」の札が出たという訳です。
神宮の方で恋みくじも引いてみましたが、結果は下の通り「神様にお任せし 誠意を尽くしなさい 成立する」でした。…信じていいんだよな？な？
お腹が空いたのでランチへ。近江神宮を出て京都駅に行き、嵯峨線に乗り換えて「丹波口駅」で降りてお店へ向かいます。本当は地下鉄や阪急電車などを駆使して烏丸駅から向かえば一瞬なのですが、前述の縛りにより歩くことになりました。
お店は「ザブッフェスタイルサラ」です。バイキング形式でおばんざいを楽しむことができるお店です。入り口で手指消毒をした後、ビニール手袋を渡され「感染対策のため料理やドリンクを取りに行く時はこれをつけてください」と説明を受けました。1時間半制です。
料理は賀茂茄子の天ぷら、賀茂茄子と鶏肉の甘酢和え、生姜の炊き込みご飯、かぼちゃの甘煮、刺身蒟蒻、三色豆など和食中心でした。そりゃそうか笑
みんな恋人や友人と来ている中で、ぼっち男子大学生がはしゃいでいる光景は側から見るとどう映っていたのか気になるところではありましたが、料理がとても美味しかったのでOKです！
賀茂茄子と鶏肉の甘酢和えが特に美味しかったですよ。
ランチの後は丹波口駅まで歩いて戻り、嵯峨線で「梅小路京都西駅」まで。
駅の目の前に「京都鉄道博物館」があります。
【後編へ続く】
数検1級を受けてきた感想(ネタバレ注意)
こんにちは。2020/08/30の数検1級を受けてきたので、感想を書きます。ネタバレが含まれるので注意してください。
1次試験
第1問:
ガウス記号の問題。一瞬戸惑ったけど冷静に考えればなんのことは無い。
第2問:
極形式とド･モアブルの定理の問題。π/8は準有名角かな？知らなくとも√2を見てπ/4と関係ありそうだと思って欲しいところ。
第3問:
行列式を求めるだけ。計算ミスが怖いので検算を何回もしました。
第4問:
四面体の体積を求める問題。(2)の体積問題については「2本のベクトルの外積と残りの1本のベクトルの内積」の式を知ってはいたがややうろ覚えで不安だったので普通に高さを求めるやり方でも求めて検算をした。「前述の式から求まるのは平行六面体の体積だ」ということを忘れていたので答えが6倍になってた。危ない危ない。検算、大事、絶対。
第5問:
確率統計の問題。2変数のパターンをあんまり見たことがなかったので不安だったが、どうやら合ってたっぽい。計算自体は簡単でした。
第6問:
テイラー展開の問題。そのまま微分してもいいけど、二乗してから両辺微分する方が楽かな。これも計算ミスが怖かったので両方のやり方でやって答えを確かめた。
第7問:
微分方程式。めちゃくちゃ簡単。
1次試験では、全問解き終わるのにかかった時間が30分程でした。複雑な問題もなく、かなり簡単だった気がする。
2次試験
第1問(選択):
フェルマーの小定理を3回使えばすぐに証明出来る。簡単。所要時間8分。
第2問(選択):
値を代入したらすぐに予測が付く。
念の為関数電卓を使って3パターンほど試して見たが、全て一致したので合っていると確信。後は「変形したらこうなるはずだ」というイメージを信じて加法定理などで変形した。多分他にもっと綺麗なやり方があったんだろうな。
所要時間15分。
第6問(必須):
1は基本。2は逆行列は普通に求まったし、求める多項式の次数も高くなかったので楽だった。俺のやり方は多分想定されてたやり方では無いと思う。
所要時間10分。
第7問(必須)
:極値を求める問題。多分あってるとは思うけど……極値問題については演習不足だったので自信ありません。所要時間17分。
2次試験番外編
第3問(選択してません)
:極座標を用いて座標を置いたらすぐに示せた。図形的にやる方法？知らん。
第4問は面倒くさそうなのでやってません。
第5問は普通に分からなかった(幾何弱) Twitterでは簡単だと言われていた(？)ので、難しかったと言うよりは俺の実力の問題だと思う。
今回は必須がかなり簡単で、また選択問題も簡単な物が3つもありました(※個人の感想です)
合格率は高いのではないでしょうか。絶対評価ですからね。合格率が難易度に露骨に左右される。
僕自身合格してるか分かりませんが。受かってるといいな……
東大理系数学2020年度第2問
久しぶりにブログを更新します。
この記事では東大理系数学2020年度第2問について書きます。
まずは僕の答案を。
21分かかりました。
基本的に僕の数学の解法は「ゴリ押し」なんですが、この問題は面積の和なので「（絶対値の二乗の積）ー（内積の二乗）」の面積公式では解けなさそう、ということで図形的に考えることにしました。これはちょっと難しいんじゃないかな？少なくとも「試験中に思いつけるか？」と言われたら微妙なところです。「四角形の面積の2倍」が登場することを見破れるかにかかっていると思います。なおいくつかのサイトを見てみましたが、「四角形の面積の2倍」を利用して解いているサイトはなさそうでした。
赤本での難易度的にはC位かな?
東大理系数学2020年度第一問感想
久しぶりにブログを更新します。
この記事ではは東大理系数学2020年度第一問について書きます。
まずは僕の答案を。
13分で解き終わりました。
抽象的で捉え所のない問題に見えるかもしれませんが、適確な誘導のおかげか実はそこまで難しくありません。abcのどれか１つでも0なら１つが一次方程式になるんですよね。（1）も、放物線の動きをイメージすれば楽です。
赤本での難易度的にはB（のなかでも易）といったところかな。
自作問題の解答
こんにちは。久しぶりに更新です。今回の問題はこちら。
#自作問題#kの自作
— k@高校数学他（ますらばー） (@math_lover_exp) 2020年4月25日
以下のように数列a_n、S_nを定義する時、S_nは整数になり得るか？
なり得るならば具体的なnを一つ求め、なり得ないならばそれを示せ。 pic.twitter.com/1AN84vKOpy
解答は下の通りです。
【難易度・補足】今回の問題は数Ⅲを用いる問題でした。一般項の逆数をシンプルな式で表すのは難しいので、和がシンプルな形になる数列で上から押さえた訳です。数Ⅲ極限は素直に求まるものよりもこのように不等式評価を使うものが多いです。難易度としてはやや易〜標準レベルでした。
自作の整数問題を解説してみる
問題
今回の問題はこちら↓
今日の1時くらいに出してミスに気づいて消した問題の訂正版です。
— 高校数学を解くだけのアカウント (@math_lover_e) March 26, 2020
自作問題です。
明日ブログに答えを載せようと思います。
解けた方はDMまで。
問題におかしな所がある場合も教えてください！ pic.twitter.com/73DmjBBYIT
このアカウントでゆる〜く高校数学の話をしています。よかったらフォローしてください。
前書き
素数でないことを示す→自分以外の素数で割れることを示すしか（基本的に）方法は無い。
主なやり方は①modを取る②因数分解をするです。
今回は見た感じ因数分解が不可能なのでmodを取りたい。例えば「p^2+2が素数となる素数pは存在するか？」というような問題では、とある自然数nを法としてp≡0、p≡1、…p≡n-1の場合分けをして考える。
できれば場合分けを少なくしたいので、まずはn=2とする（つまり偶奇で考える）。
このように、大学受験で出題される「素数かどうかを考える問題」においては法は2、3、4、5、6、7、8、9辺りを用いれば解決できることがほとんどです。
整数の2乗は3で割ると余りが0か1であり、4で割ると余りが0か1であることはあまりにも有名なので頭の隅に置いておくといいでしょう。
また、2以外の素数が全て奇数であることも有名です。「素数は基本的に奇数で、2だけ偶数」と考えるとやりやすいと思います。
では、解答です。字が汚いです。すみません。最後に十分性の確認を忘れるともったいないです。忘れないようにしましょう。
今回の解答に至るまでの思考
さて、今回のような問題を見たときにどのようなことを考えれば良いのでしょうか？答案用紙には書かない思考をまとめてみました。（管理人の文章力不足で少し長くなっていますが…）
上にも書いたように、このタイプの問題では偶奇をまず考えます。p、q、rが全て奇数ならpq+rは偶数となり、2≦pなのでpq+r≦6です。この時点でpq+rは素数では無くなり不可です。
よってp、q、rのどれかが2ですが３つのうちpが最小なのでp=2です。
こうなると問題の条件は「4-2q^2+r^2、2q+r、2r+q、qr-2が素数であること」になります。
もうこれ以上mod2を使って分かることは無いので、次はmod3を使うわけです。ここで「整数の2乗は3で割ると余りが0か1である」ことを用いて「q、rが共に3で割り切れないなら4-2q^2+r^2≡0（mod3）」と分かるわけです。4-2q^2+r^2は素数ですから、これは3です。つまり、r^2-2q^2=-1であることがわかります。実はこれはペル方程式になっており、この式の自然数解は無限に存在します。つまりqとrの値は定まらず、問題も解けません。そこで4-2q^2+r^2ではなく別の数に注目。3を法としてq≡rなら、2q+r≡0となります。（∵qとrの係数の和が2+1=3だから）つまり、q≡rでは無いということです。
よってq≡1かつr≡2、またはq=2かつr=1、またはqとrの一方が3の倍数ということになります（その場合、素数という条件により3に定まります。）ここでr=3ではありません(∵p<q<r)のでこの場合q=3です。
さて、q≡1かつr≡2の場合も、q=2かつr=1の場合もqr-2≡0となります(mod3)。よって条件よりqr-2=3となりますが、qr=5となり不適切です。
よってq=3となります。mod3もこれでお役御免です。
こうなると問題の条件は「r^2-14、6+r、2r+3、3r-2が素数であること」になります。
では次に何を考えるか。mod4を考えてもr≡1の時に「r^2-14、6+r、2r+3、3r-2の4つの数のどれもが4の倍数でない」という状況ができてしまいます。その時点でmod4を使うのは諦めるべきです（これは別にmod4に限った話ではありませんが。）
次にmod5を利用してみよう、となって問題が解ける訳です。
結論
結論として、こうした問題に取り組む際は偶奇やmod3など、まずは小さい数を法として考えることが大事です。大学入試の問題は必ず解けるように作問されていることを忘れないようにしましょう。
